LOGIKA PROPOSISI

• HUKUM-HUKUM LOGIKA PROPOSISI

Logika merupakan study penalaran (reasoning). Pelajaran logika di fokuskan pada hubungan pernyataan – penyataan (statements). Sedangkan Proposisi adalah kalimat yang bernilai benar atau salah, tapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat di sebut nilai kebenaran. Proposisi dalam kerangka hubungan ekivalensi logika, memenuhi sifat-sifat yang dinyatakan dalam sejumlah hukum. Hukum logika proposisi sering juga dinamakan dengan hukum-hukum aljabar proposisi. Karena, beberapa hukum tersebut mirip dengan hukum aljabar pada sistem bilangan riil.misalnya , yaitu hukum distributif.

Dalam pembicaraan ekivalensi, dua pernyataan disebut ekivalensi jika mempunyai nilai kebenaran yang sama. Dengan demikian, jika sebagian atau keseluruhan dari sebuah pernyataan majemuk ditukar dengan suatu pernyataan lainnya yang ekivalen secara logis dengan yang ditukar itu, maka nilai kebenaran pernyataan majemuk yang baru adalah sama dengan nilai kebenaran pernyataan majemuk semula.

Berikut hukum - hukum logika proposisi dengan pembuktiannya dengan menggunakan tabel kebenaran yaitu :

1.      Hukum Identitas

·         p ˅ F ⇔ p

p	˅	F	⇔	p
B	B	S		B
S	S	S		S

·         p ^ T ⇔ p

p	^	T	⇔	p
B	B	B		B
S	S	B		S

2.      Hukum Null/dominasi

·         p ^ F ⇔ F

p	^	F	⇔	F
B	S	S		S
S	S	S		S

·         p  ˅ T ⇔ T

p	˅	T	⇔	T
B	B	B		B
S	B	B		B

3.      Hukum Negasi

·         p ˅ ~p ⇔ T

p	˅		⇔	T
B	B	S		B
S	B	B		B

·         p ^  ~p ⇔ F

p	^		⇔	F
B	S	S		S
S	S	B		S

4.      Hukum Idempoten

·         p ˅ p ⇔ p

p	˅		⇔	P
B	B	B		B
S	S	S		S

·         p ^ p ⇔ p

p	^		⇔	P
B	B	B		B
S	S	S		S

5.      Hukum Involusi (Negasi Ganda)

·         ~(~p) ⇔ p

p			⇔	p
B	S	B		B
S	B	S		S

6.      Hukum Penyerapan (arbsorbsi)

·         p ˅ (p ^ q) ⇔ p

p	q	(p ^ q)	p ˅ (p ^ q)		p
B	B	B	B		B
B	S	S	B		B
S	B	S	S		S
S	S	S	S		S

·         p ^ (p ˅ q) ⇔ p

p	q	(p ˅ q)	p ^ (p ˅ q)		p
B	B	B	B		B
B	S	B	B		B
S	B	B	S		S
S	S	S	S		S

7.      Hukum Komutatif

·         p ˅ q ⇔ q ˅ p

p	˅	q	⇔	q	˅	p
B	B	B		B	B	B
B	B	S		S	B	B
S	B	B		B	B	S
S	S	S		S	S	S

·         p ^ q ⇔ q ^ p 

p	^	q	⇔	q	^	p
B	B	B		B	B	B
B	S	S		S	S	B
S	S	B		B	S	S
S	S	S		S	S	S

8.      Hukum Asosiatif

·         p˅ (q ˅ r) ⇔ (p ˅ q) ˅ r

p	q	r	(q ˅ r)	p˅ (q ˅ r)	⇔	(p ˅ q)	(p ˅ q) ˅ r
B	B	B	B	B		B	B
B	B	S	B	B		B	B
B	S	B	B	B		B	B
B	S	S	S	B		B	B
S	B	B	B	B		B	B
S	B	S	B	B		B	B
S	S	B	B	B		S	B
S	S	S	S	S		S	S

·         p ^ (q ^ r) ⇔ (p ^ q) ^ r

p	q	r	(q ^ r)	p^ (q ^r)	⇔	(p ^ q)	(p ^ q) ^ r
B	B	B	B	B		B	B
B	B	S	S	S		B	S
B	S	B	S	S		S	S
B	S	S	S	S		S	S
S	B	B	B	S		S	S
S	B	S	S	S		S	S
S	S	B	S	S		S	S
S	S	S	S	S		S	S

9.      Hukum Distributif

·         p ˅ (q ^ r) ⇔ (p ˅ q) ^ (p ˅ r)

p	q	r	(q ^ r)	p˅ (q ^r)	⇔	(p ˅ q)	(p ˅ r)	(p ˅ q) ^ (p ˅ r)
B	B	B	B	B		B	B	B
B	B	S	S	B		B	B	B
B	S	B	S	B		B	B	B
B	S	S	S	B		B	B	B
S	B	B	B	B		B	B	B
S	B	S	S	S		B	S	S
S	S	B	S	S		S	B	S
S	S	S	S	S		S	S	S

·         p ^ (q ˅ r) ⇔ (p ^ q) ˅ (p ^ r)

p	q	r	(q ˅ r)	p^ (q ˅r)	⇔	(p ^ q)	(p ^ r)	(p ^ q) ˅ (p ^ r)
B	B	B	B	B		B	B	B
B	B	S	B	B		B	S	B
B	S	B	B	B		S	B	B
B	S	S	S	S		S	S	S
S	B	B	B	S		S	S	S
S	B	S	B	S		S	S	S
S	S	B	S	S		S	S	S
S	S	S	S	S		S	S	S

10.  Hukum De Morgan

·         ~(p ^ q) ⇔ ~p ˅ ~q

p	q	p ^ q	~(p ^ q)	⇔	~p	˅	~q
B	B	B	S		S	S	S
B	S	S	B		S	B	B
S	B	S	B		B	B	S
S	S	S	B		B	B	B

·         ~(p ˅ q) ⇔ ~p ^ ~q

p	q	p ˅q	~(p ˅ q)	⇔	~p	^	~q
B	B	B	S		S	S	S
B	S	B	S		S	S	B
S	B	B	S		B	S	S
S	S	S	B		B	B	B

11.  Negasi T dan F

·         ~T ⇔ F

T	~T	⇔	F
B	S		S

·         ~F ⇔ T

F	~F	⇔	T
S	B		B

Pernyataan-pernyataan dari hukum logika di atas yang saling ekivalan, dapat saling mengganti satu sama lain. Artinya dapat menukar pernyataan kiri dengan sebelah kanan begitu juga sebaliknya. Guna bermanfaat untuk membuktikan keekivalenan dua buah proposisi. Khususnya pada proposisi majemuk yang mempunyai banyak proposisi atomik. 

• OPERASI LOGIKA DI DALAM KOMPUTER

 Bahasa pemrograman umumnya menyediakan tipe data boolean untuk data yang bertipe logika, misalnya tipe boolean dalam bahasa pascal, logical dalam bahasa fortran. Tipe data boolean hanya mempunyai dua buah konstanta nilai saja, yaitu true dal false. Perubah yang bertipe boolean disebut perubah boolean (boolean variable). Nilai peubah tersebut hanya true atau false.

Operasi boolean sering dibutuhkan dalam pemrograman. Operasi boolean dinyatakan dalam ekspresi logika (atau dinamakan juga ekspresi boolean). Operator boolean yang digunakan adalah AND, OR, XOR, dan NOT. Ekspresi boolean tersebut hanya menghasilkan salah satu dari dua nilai, true atau false.

Misalkan adalah peubah boolean dalam bahasa pascal, maka ekspresi boolean di bawah ini adalah valid :

              and

              or (not (  and ))

Yang bersesuaian dengan ekspresi logika

               ^

                (  (   ))

Operasi lain dari pemrograman yang bersesuaian dengan operasi logika adalah operasi bit. Sebuah bit hanya mempunyai dua nilai yaitu 1 dan 0. 1 untuk mempresentasikan true (T) dan 0 untuk mempresentasikan false (F). Kita menggunakan notasi , ^,  masing-masing untuk melambangkan operator AND, OR, XOR, dan NOT. Denga demikian operasi bit:

              

            1^0

            0 0

Bersesuaian dengan operasi logika:

              

            T^F

            F F

Operator logika AND, OR, XOR, dan NOT dapat digunakan sebagai kata penghubung logika diantara term-term yang dicari. Misalkan kita ingin mencari semua halaman web yang berkaitan dengan “aljabar atau boolean” maka term yang kita cari ditulis sebagai: aljabat OR boolean. Jika kedua-duanya “aljabar dan boolean” maka ditulis : aljabar AND boolean.

Jika kita ingin mencari semua halaman web yang berkaitan dengan topik aljabar atau boolean yang berkaitan dengan matematika, maka term yang ditulis adalah: (aljabar OR boolean) AND matematika.